Connus depuis longtemps, certains cristaux naturels ont fasciné ; leur recherche et leur étude ont contribué au développement de la cristallographie.
Avec la chimie, elle a permis de structurer la minéralogie dont R. J. Haüy (1743-1822) , frère de Valentin Haüy à l'origine d'un système d'écriture pour les aveugles, est un des créateurs.
Il montre en 1793 que les cristaux résultent de l'empilement régulier de petits volumes identiques dans tout le cristal.
La cristallographie (un cristal est un solide ayant la forme d'un polyèdre plus ou moins régulier) regroupe les cristaux selon les formes et les propriétés géométriques : axes, plans et centre de symétrie...On a ainsi seulement 7 systèmes cristallins dont le système rhomboédrique.
Romé de l'Isle, un précurseur, a montré l'importance des angles dièdres des faces pour la forme des cristaux et par suite pour leur classification.
On trouve des cristaux en forme de tétraèdre, de cube, d'octaèdre. A l'Ile d'Elbe, des gisements de pyrite, connus des étrusques, donnent des cristaux de forme dodécaédrique presque régulière.
Parmi les carbonates de calcium qui constituent souvent la gangue de nombreux filons métalliques, la calcite, dont l'étude est d'ailleurs à l'origine des lois de la cristallographie (Fig1), cristallise en rhomboèdre.
La
dolomite, le Spath d'Islande variété transparente de calcite
cristallisée (Fig 2) ...cristallisent en rhomboèdres, de même que le
Corindon où la structure plus complexe fait apparaître, en plus, des
faces d'un scalénoèdre (Fig 3).
La calcite est connue depuis l'antiquité. Dürer a-t-il vu de tels cristaux ?
La calcite est connue depuis l'antiquité. Dürer a-t-il vu de tels cristaux ?
Dans
le cas général d'un rhomboèdre, montrons que le plan (П) médiateur du
grand axe [FE'], celui qui joint les deux sommets où les trois faces ont
des angles aigus, coupe le rhomboèdre suivant un hexagone régulier. Le
grand axe est axe de symétrie ternaire (le solide est invariant dans les
rotations d'angle 120° et 240°). Le milieu est conservé dans une
projection, une symétrie ou une rotation.
La
droite (Δ), (Fig 4), est la trace du plan (П) sur le plan (EE'F'F),
plan de symétrie du rhomboèdre. B1 et B'1 sont les projetés de B et B'
sur ce plan. Ω milieu de [B1B'1] montre que (П) passe par le milieu de
[BB']. Même raisonnement pour les autres arêtes.
Les
rotations conservant les distances, l'hexagone de section est régulier
car invariant dans les rotations d'angles 120° et 240°. Les 3
médiatrices des côtés sont des axes de symétrie.
De plus, en utilisant les résultats précédents, OU = O Ω ²/OF = α.t²./(2.√(1+ t²))
et EU = ρ – OU
Donc EU = α/(2.√(1+ t²)) soit EU = ¼ EF ; remarquable résultat !
Enfin les sommets de cet hexagone sont les milieux de 6 arêtes.
Pour le rhomboèdre d'angle de 72°, l'angle dièdre de deux faces contiguës est φ défini par tan φ = 2√(2+√5) soit φ = 76,35° ou son supplément 180°- φ = 103,65°.
On a enfin, 3 plans de symétrie passant par l'axe (FE').
Le plan CDS est invariant dans les deux rotations d'angles 120° et 240°.
L'axe de rotation est donc orthogonal à ce plan (déjà vu en A,2).
et EU = ρ – OU
Donc EU = α/(2.√(1+ t²)) soit EU = ¼ EF ; remarquable résultat !
Enfin les sommets de cet hexagone sont les milieux de 6 arêtes.
Pour le rhomboèdre d'angle de 72°, l'angle dièdre de deux faces contiguës est φ défini par tan φ = 2√(2+√5) soit φ = 76,35° ou son supplément 180°- φ = 103,65°.
On a enfin, 3 plans de symétrie passant par l'axe (FE').
Le plan CDS est invariant dans les deux rotations d'angles 120° et 240°.
L'axe de rotation est donc orthogonal à ce plan (déjà vu en A,2).
